设函数f(x)=lnx﹣ax2﹣bx.(1)当a=b=时,求f(x)的最大值;(2)令F(x)=f(x)+ax2+bx+(0<x≤3),以其图象上任意一点P(x
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设函数f(x)=lnx﹣ax2﹣bx.(1)当a=b=时,求f(x)的最大值;(2)令F(x)=f(x)+ax2+bx+(0<x≤3),以其图象上任意一点P(x
题型:山东省期末题
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来源:
设函数f(x)=lnx﹣
ax
2
﹣bx.
(1)当a=b=
时,求f(x)的最大值;
(2)令F(x)=f(x)+
ax
2
+bx+
(0<x≤3),以其图象上任意一点P(x
0
,y
0
)为切点的切线的斜率k≤
恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当a=0,b=﹣1时,方程2mf(x)=x
2
有唯一实数解,求正数m的值.
答案
解:(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞)
当
时,
,
.
令f""(x)=0,解得x=1.
当0<x<1时,f""(x)>0,此时f(x)单调递增;
当x>1时,f""(x)<0,此时f(x)单调递减.
所以f(x)的极大值为
,此即为最大值.
(2)
,
所以
,,在x
0
∈(0,3]上恒成立,
所以
,x
0
∈(0,3]
当x
0
=1时,
取得最大值
.
所以a≥
.
(3)因为方程2mf(x)=x
2
有唯一实数解,
所以x
2
﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解.
设g(x)=x
2
﹣2mlnx﹣2mx,
则
.
令g"(x)=0,得x
2
﹣mx﹣m.
因为m>0,x>0,所以
(舍去),
,
当x∈(0,x
2
)时,g"(x)<0,g(x)在(0,x
2
)单调递减,
当x∈(x
2
,+∞)时,g"(x)>0,g(x)在(x
2
,+∞)单调递增.
当x=x
2
时,g’(x
2
)=0 ,g(x
2
)取最小值g(x
2
).
因为g(x)=0有唯一解,所以g(x
2
)=0.
则
,即
所以2mlnx
2
+mx
2
﹣m=0,
因为m>0,所以2lnx
2
+x
2
﹣1=0.
设函数h(x)=2lnx+x﹣1,
因为当x>0时,h(x)是增函数,
所以h(x)=0至多有一解.
因为h(I)=0,所以方程的解为(X
2
)=1,
即
,
解得
举一反三
设函数
的导数为
,若函数
的图象关于直线
对称,且函数
有最小值
;
(1)求函数y=f(x)在A(-1,f(-1)),B(2,f(2))两点处的切线的夹角的正切值;
(2)已知函数
,若方程
只有一个实数根,求实数m的取值范围.
题型:四川省模拟题
难度:
|
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已知函数
在
处的切线斜率为零.
(Ⅰ)求 x
0
和b 的值;
(Ⅱ)求证:在定义域内 f(x)≥0恒成立;
(Ⅲ) 若函数
有最小值m ,且
,求实数a 的取值范围.
题型:浙江省模拟题
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已知函数
的最大值为1,最小值为
,则函数
的最大值为( )。
题型:广东省期中题
难度:
|
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(单位:万元)与年产量
(单位:万件)的函数关系式为
,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
[ ]
A . 13万件
B. 11万件
C. 9万件
D. 7万件
题型:湖北省期中题
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函数
(1)
时,求
最小值;
(2)若
在
是单调增函数,求
取值范围.
题型:湖北省期中题
难度:
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