已知函数．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当-1＜a＜0时，有恒成立，求a的取值范围．

题型：山东省模拟题难度：来源：

已知函数．
（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当-1＜a＜0时，有恒成立，求a的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）当时，，
∴．
∵f（x）的定义域为，
∴由 得x=1．
∴f（x）在区间上的最值只可能在取到，
而，
∴ ．
（Ⅱ）．
①当a+1≤0，即a≤-1时，f′（x）＜0∴f（x）在单调递减
②当a≥0时，f′（x）＞0∴f（x）在单调递增；
③当时，由f′（x）＞0得
∴或（舍去）
∴在单调递增，在上单调递减；
综上，当a≥0时，在单调递增；
当-1＜a＜0时，在单调递增，在上单调递减．
当a≤-1时，在单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当-1＜a＜0时，
即原不等式等价于  
即整理得
∴， 
又∵-1＜a＜0，所以a的取值范围为.