用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

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答案

解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+0.5）m，高为

由3.2﹣2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，
设容器的容积为ym³，则有y=x（x+0.5）（3.2﹣2x）（0＜x＜1.6）
整理，得y=﹣2x³+2.2x²+1.6x，
∴y"=﹣6x²+4.4x+1.6
令y"=0，有﹣6x²+4.4x+1.6=0，即15x²﹣11x﹣4=0，
解得x₁=1，

（不合题意，舍去）．
从而，在定义域（0，1，6）内只有在x=1处使y"=0．
由题意，若x过小（接近0）或过大（接受1.6）时，y值很小（接近0），
因此，当x=1时y取得最大值，y最大值=﹣2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2﹣2×1=1.2．
答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m³．

举一反三

函数

（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值．
（2）若y=f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．

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工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为

（c为常数，且0＜c＜6），已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元．
（1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率=

）

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如图，已知曲线C₁：y=x³（x≥0）与曲线C₂：y=﹣2x³+3x（x≥0）交于O，A，直线x=t（0＜t＜1）与曲线C₁，C₂分别交于B，D．
（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（Ⅱ）讨论f（t）的单调性，并求f（t）的最大值．

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若存在常数k和b，使得函数f（x）和g（x）在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足：
f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知f（x）=x²，g（x）=2elnx．
（I）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极值；
（II）函数f（x）和g（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的方程，若不存在，请说明理由．

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设函数

（1）若函数f（x）在其定义域内是减函数，求a的取值范围；
（2）函数f（x）是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值时x的值，并证明你的结论．

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