已知函数f（x）=lnx﹣ ，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值

题型：湖南省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=lnx﹣ ，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x²﹣mx+4，当a=2时，若x₁∈（0，1），x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且 ，
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣a；由f′（x）＜0，得x＜﹣a；
故f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）g（x）=ax﹣ ，g（x）的定义域为（0，+∞），
 ﹣ = ，
因为g（x）在其定义域内为增函数，所以x∈（0，+∞），g′（x）≥0，
∴ax²﹣5x+a≥0， ∴a（x²+1）≥5x，即 ，
∴ ．
∵ ，当且仅当x=1时取等号，所以a ．
（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x﹣ ， ，
由g′（x）=0，得x= 或x=2．
当 时，g′（x）≥0；
当x 时，g′（x）＜0．
所以在（0，1）上， ，
而“x₁∈（0，1），x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立”等价于 “g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，
所以有 ，
∴ ，
∴ ，
解得m≥8﹣5ln2，
所以实数m的取值范围是[8﹣5ln2，+∞）．