解:(1)f"(x)=lnx+1, 当,f"(x)<0,f(x)单调递减, 当,f"(x)>0,f(x)单调递增. ①,t无解; ②,即时,; ③,即时,f(x)在[t,t+2]上单调递增, f(x)min=f(t)=tlnt; ∴. (2)2xlnx≥﹣x2+ax﹣3,则, 设, 则, x∈(0,1),h"(x)<0,h(x)单调递减, x∈(1,+∞),h"(x)>0,h(x)单调递增, 所以h(x)min=h(1)=4 因为对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立, 所以a≤h(x)min=4; (3)问题等价于证明, 由(1)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是, 当且仅当时取到设, 则,易得, 当且仅当x=1时取到,从而对一切x∈(0,+∞),都有成立. |