某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分),形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边),已知
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某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分),形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边),已知
题型:江苏期中题
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某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分),形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边),已知AB=2km,BC=6km,AE=BF=4km其中曲线段AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分.分别以直线AB,AD为x轴和y轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线段AF所在抛物线的方程;
(2)设点P的横坐标为x,高科技工业园区的面积为S.试求S关于x的函数表达式,并求出工业园区面积S的最大值.
答案
解:(1)设抛物线方程:y=ax
2
(a>0),
由F(2,4)代入得a=1,
所以抛物线方程为y=x
2
(2)设P(x,x
2
),Q(0,x
2
)
直线CE方程:y=x+4,
所以R(x,x+4)PQ=x,QE=4﹣x
2
,PR=x+4﹣x
2
面积
,
定义域:x∈(0,2),
求导S"=﹣3x
2
+x+4=﹣(3x﹣4)(x+1),
又x∈(0,2),
由S"=0得:
S"先正后负,S先增后减,
所以,
时,
S取最大值
.
举一反三
已知函数f(x)=
的定义域为[α,β],值域为[log
a
a(β﹣1),log
a
a(α﹣1)],并且f(x)在[α,β]上为减函数.
(1)求a的取值范围;
(2)求证:2<α<4<β;
(3)若函数g(x)=log
a
a(x﹣1)﹣
,x∈[α,β]的最大值为M,求证:0<M<1.
题型:四川省月考题
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设直线x=t 与函数f(x)=x
2
,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为
[ ]
A.1
B.
C.
D.
题型:江西省月考题
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某人要建造一间地面面积为24m
2
、墙高为3m,一面靠旧墙的矩形房屋.利用旧墙需维修,其它三面墙要新建,由于地理位置的限制,房子正面的长度x(单位:m)不得超过a(单位:m)(其平面示意图如图).已知旧墙的维修费用为150元/m
2
,新墙的造价为450
元/m
2
,屋顶和地面的造价费用合计为5400元(不计门、窗的造价).
(1)把房屋总造价y(单位:元)表示成x(单位:m)的函数,并写出该函数的定义域;
(2)当x为多少时,总造价最低?最低总造价是多少?
题型:山东省期末题
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如图,要在半径是2km的半圆形公园内建一个等腰梯形的活动场地,求活动场地的最大面积.
题型:湖南省月考题
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已知函数f(x)=xlnmx(m>0),g(x)=﹣x
2
+2ax﹣3,且f(x)在x=e处的切线方程为2x﹣y﹣e=0,
①求m的值.
②若y=af(x),y=g(x)在区间[1,3]上的单调性相同,求实数a的取值范围.
③求证:对任意的x∈(0,+∞),都有
.
题型:湖南省月考题
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