已知函数f（x）=plnx+（p﹣1）x2+1． （1）当p=1时，f（x）≤ λx恒成立，求实数λ的取值范围． （2）当p＞0时，讨论函数f（x）的单调性．

题型：山东省期中题难度：来源：

已知函数f（x）=plnx+（p﹣1）x²+1．
（1）当p=1时，f（x）≤ λx恒成立，求实数λ的取值范围．
（2）当p＞0时，讨论函数f（x）的单调性．

答案

解：（1）当p=1时，f（x）≤λx恒成立，等价于1+lnx≤kx，
∴，f（x）的定义域为（0，+∞）
令，则λ≥h（x）_max，
因为，由h"（x）=0得x=1，
且当x∈（0，1）时，h"（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，h"（x）＜0．所以h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
所以h（x）_max=h（1）=1，
故λ≥1；
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），
当p＞1时，f"（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；
当0＜p＜1时，令f"（x）=0，解得．
则当时，f"（x）＞0；，f"（x）＜0；
f（x）在单调递增，在单调递减．