(1)解:f"(x)=lnx+1(x>0), 令f"(x)=0,得. ∵当时,f"(x)<0; 当时,f"(x)>0, ∴当时,. (2)F(x)=a+lnx+1(x>0), . ①当a≥0时,恒有F"(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当a<0时,令F"(x)>0,得2a+1>0,解得; 令F"(x)<0,得2a+1<0,解得. 综上,当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当a<0时,F(x)在上单调递增,在上单调递减. (3)证:. 要证,即证,等价于证, 令,则只要证, 由t>1知lnt>0,故等价于证lnt<t﹣1<tlnt(t>1)(*). ①设g(t)=t﹣1﹣lnt(t≥1),则, 故g(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴当t>1时,g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0,即t﹣1>lnt(t>1). ②设h(t)=tlnt﹣(t﹣1)(t≥1),则h"(t)=lnt≥0(t≥1), 故h(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴当t>1时,h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即t﹣1<tlnt(t>1). 由①②知(*)成立,得证. |