已知函数的极大值点为x=﹣1.(1)用实数a来表示实数b,并求a的取值范围;(2)当x∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为,求a的值;(3)设A(﹣1,f(﹣1

已知函数的极大值点为x=﹣1.(1)用实数a来表示实数b,并求a的取值范围;(2)当x∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为,求a的值;(3)设A(﹣1,f(﹣1

题型:四川省月考题难度:来源:
已知函数的极大值点为x=﹣1.
(1)用实数a来表示实数b,并求a的取值范围;
(2)当x∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为,求a的值;
(3)设A(﹣1,f(﹣1)),B(2,f(2)),A,B两点的连线斜率为k.求证:必存在x0∈(﹣1,2),使f"(x0)=k.
答案
解:(1)f"(x0)=x2+2ax+b,由题设知f"(﹣1)=0
∴b=2a﹣1
韦达定理得另一极值点x=﹣b=1﹣2a,因为x=﹣1为极大值点
故1﹣2a>﹣1,
∴a<1
(2)f(x)在(﹣∞,﹣1)上递增,在(﹣1,1﹣2a)递减,在(1﹣2a,+∞)上递增,
故当x∈[﹣1,2]时,分情况如下:
①1﹣2a≥2,即时,f(x)在x∈[﹣1,2]上单调递减
,解得,不合条件,舍去
②1﹣2a<2,即时,

,化简得a(2a﹣3)2=0,a=0或,取a=0
综上,故所求的a=0
(3),即证x02+2ax0+b=3a
即证方程x2+2ax﹣a﹣1=0(a<1)在x∈(﹣1,2)上有实数解
记g(x)=x2+2ax﹣a﹣1=0(a<1),
g(﹣1)=﹣3a,g(2)=3a+3
①当g(﹣1)g(2)=﹣3a(a+1)<0,即a<﹣1或0<a<1时,
由零点存在定理知此时方程有解
②a<0时,此时△=4(a2+a+1)>0,g(2)>0,g(﹣1)>0,且二次函数g(x)的对称轴x=﹣a∈(0,1)(﹣1,2),由此可知此时方程在(﹣1,2)内有两个解
③a=﹣1时方程有一根为x=0,当a=0时方程有一根为x=1
综上可知,方程x2+2ax﹣a﹣1=0(a<1)在x∈(﹣1,2)上有实数解.
即必存在x0∈(﹣1,2),使f"(x0)=k.
举一反三
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式.
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
已知f(x)=2x3﹣6x2+m(m为常数)在[﹣2,2]上有最大值3,那么此函数在[﹣2,2]上的最小值是 [     ]
A.﹣37  
B.﹣29  
C.﹣5  
D.以上都不对
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
有一块边长为4的正方形钢板,现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计).有人应用数学知识作了如下设计:如图(a),在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剩余部分围成一个长方体,该长方体的高为小正方形边长,如图(b).
(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1
(2)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费),请你重新设计切、焊方法,使材料浪费减少,而且所得长方体容器的容积V2>V1
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
已知函数 ,a∈R.
(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x) 的最小值;
(Ⅱ)当 a≠0 时,讨论函数 f(x) 的单调性;
(Ⅲ)是否存在实数a,对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1x2,有,恒成立,若存在求出a的取值范围,若不存在,说明理由.
题型:安徽省模拟题难度:| 查看答案
设函数f(x)=2x3﹣12x+c是定义在R上的奇函数.
(Ⅰ)求c的值及函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[﹣1,3]上的最大值和最小值.
题型:北京期中题难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.