解:(Ⅰ)由题意,函数f(x)的定义域为(0,+∞), 当a=1 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019074034-65259.png) ∴当x∈(0,2)时,f′(x)<0,x∈(2,+∞),f"(x)>0. ∴f(x)在x=2时取得极小值且为最小值,其最小值为 f(2)=﹣2ln2 (Ⅱ)∵ , ∴(1)当﹣2<a≤0时,若x∈(0,﹣a)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; x∈(﹣a,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. (2)当a=﹣2时,x∈(0,+∞)时,f(x)为增函数; (3)当a<﹣2时,x∈(0,2)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; x∈(2,﹣a)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; x∈(﹣a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数 (Ⅲ)假设存在实数a使得对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2, 有 恒成立, 不妨设0<x1<x2,只要 , 即:f(x2)﹣ax2>f(x1)﹣ax1 令g(x)=f(x)﹣ax,只要 g(x)在(0,+∞)为增函数 又函数 . 考查函数![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019074035-97940.png) 要使g"(x)≥0在(0,+∞)恒成立, 只要﹣1﹣2a≥0,即 , 故存在实数a 时, 对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2, 有 恒成立 |