已知某长方体的棱长之和为14.8m,长方体底面的一边比另一边长0.5m,问高为多少时长方体体积最大?并求出最大体积是多少?
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已知某长方体的棱长之和为14.8m,长方体底面的一边比另一边长0.5m,问高为多少时长方体体积最大?并求出最大体积是多少? |
答案
解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m, 高为=3.2﹣2x 由3.2﹣2x>0和x>0,得0<x<1.6, 设容器的容积为ym3,则有y=x(x+0.5)(3.2﹣2x)(0<x<1.6) 整理,得y=﹣2x3+2.2x2+1.6x, 所以y"=﹣6x2+4.4x+1.6 令y"=0,有﹣6x2+4.4x+1.6=0,即15x2﹣11x﹣4=0 解得x1=1,x2=﹣(不合题意,舍去). 从而,在定义域(0,1.6)内只有在x=1处使y"=0. 因此,当x=1时y取得极大值,也是最大值, y最大值=﹣2+2.2+1.6=1.8,这时,高为3.2﹣2×1=1.2. 答:容器的高为1.2m时容积最大,最大容积为1.8m3 |
举一反三
已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数. (Ⅰ) 当a=-1时,求f(x)的最大值; (Ⅱ) 若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值; (Ⅲ) 当a=-1 时,试推断方是否有实数解. |
已知函数的极大值点为x=﹣1. (1)用实数a来表示实数b,并求a的取值范围; (2)当x∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为,求a的值; (3)设A(﹣1,f(﹣1)),B(2,f(2)),A,B两点的连线斜率为k.求证:必存在x0∈(﹣1,2),使f"(x0)=k. |
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式. (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值. |
已知f(x)=2x3﹣6x2+m(m为常数)在[﹣2,2]上有最大值3,那么此函数在[﹣2,2]上的最小值是 |
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A.﹣37 B.﹣29 C.﹣5 D.以上都不对 |
有一块边长为4的正方形钢板,现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计).有人应用数学知识作了如下设计:如图(a),在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剩余部分围成一个长方体,该长方体的高为小正方形边长,如图(b). (1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1; (2)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费),请你重新设计切、焊方法,使材料浪费减少,而且所得长方体容器的容积V2>V1. |
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