解:(I)因为, 当a=1,,令f "(x)=0,得x=1, 又f(x)的定义域为(0,+∞),f "(x),f(x)随x的变化情况如下表:
所以x=1时,f(x)的极小值为1. f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); (II)因为,且a≠0, 令f "(x)=0,得到,若在区间[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)<0成立, 其充要条件是f(x)在区间[1,e]上的最小值小于0即可. (1)当,即a<0时,f "(x)<0对x∈(0,+∞)成立, 所以,f(x)在区间[1,e]上单调递减, 故f(x)在区间[1,e]上的最小值为, 由,得,即 (2)当,即a>0时, ①若,则f "(x)≤ 0对x∈[1,e]成立,所以f(x)在区间[1,e]上单调递减, 所以,f(x)在区间[1,e]上的最小值为, 显然,f(x)在区间[1,e]上的最小值小于0不成立 ②若,即时,则有
所以f(x)在区间[1,e]上的最小值为,由,得1﹣lna<0,解得a>e, 即a∈(e,+∞). 由(1)(2)可知:符合题意. |