某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格.销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x(单位:元,0≤x≤30)的平方成
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某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格.销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件. (Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数; (Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? |
答案
解:(Ⅰ)设商品降价x元,则多卖的商品数为kx2, 若记商品在一个星期的获利为f(x), 则依题意有 f(x)=(30﹣x﹣9)(432+kx2)=(21﹣x)(432+kx2), 又由已知条件,24=k●22,于是有k=6, 所以f(x)=﹣6x3+126x2﹣432x+9072,x∈[0,30]. (Ⅱ)根据(Ⅰ),我们有f "(x)=﹣18x2+252x﹣432=﹣18(x﹣2)(x﹣12).
∴当x=12时,f(x)达到极大值.因为f(0)=9072,f(12)=11264, 所以定价为30﹣12=18元能使一个星期的商品销售利润最大. |
举一反三
(1) 求函数()的最大值与最小值; (2) 已知函数(是常数,且)在区间上有最大值,最小值, 求实数的值. |
已知函数f(x)=﹣x3+ax2﹣4. (1) 若f(x)在处取得极值,求实数a的值; (2) 在(Ⅰ)的条件下,若关于x的方程f(x)=m在[﹣1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围; (3) 若存在x0∈(0,+∞),使得不等式f(x0)>0成立,求实数a的取值范围. |
定义域R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2﹣2x,若恒成立,则实数t的取值范围是 |
[ ] |
A.(﹣∞,﹣1]∪(0,3] B. C.[﹣1,0)∪[3,+∞) D. |
已知函数f(x)=asinx-x+b(a、b均为正的常数). (1)求证函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点; (2)设函数f(x)在处有极值 ①对于一切,不等式f(x)>sinx+cosx总成立,求b的取值范围; ②若函数f(x)在区间(上单调递增,求实数m的取值范围. |
已知某长方体的棱长之和为14.8m,长方体底面的一边比另一边长0.5m,问高为多少时长方体体积最大?并求出最大体积是多少? |
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