已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx 在x=1处有极小值﹣1． （1）求函数f（x）的极大值和极小值； （2）求函数f（x）在闭区间[﹣2，2]上的最大值和

题型：广西自治区月考题难度：来源：

已知函数f（x）=x³﹣3ax²+2bx 在x=1处有极小值﹣1．
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）求函数f（x）在闭区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．

答案

解：（1）函数f（x）=x³﹣3ax²+2bx的导数为f"（x）=3x²﹣6ax+2b
∵函数f（x）=x³﹣3ax²+2bx在x=1处有极小值﹣1，
∴f"（1）=0，f（1）=﹣1即3﹣6a+2b=0，1﹣3a+2b=﹣1，
解得a=，b=﹣
∴f（x）=x³﹣x²﹣x，f"（x）=3x²﹣2x﹣1
令f"（x）=0，即3x²﹣2x﹣1=0，
解得，x=﹣，或x=1
又∵当x＞1时，f"（x）＞0，
当﹣＜x＜1时，f"（x）＜0，
当x＜﹣时，f"（x）＞0，
∴函数在x=﹣时有极大值为f（﹣）=
函数在x=1时有极小值为f（1）=﹣1
（2）函数f（x）在闭区间[﹣2，2]上的f"（x）、f（x）的变化情况如下表：

∴当x=2时函数有最大值为2，当x=﹣2时，函数有最小值为﹣10