设函数f（x）=tx2+2t2x+t﹣1（x∈R，t＞0）．（I）求f （x）的最小值h（t）；（II）若h（t）＜﹣2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的
题型：广东省月考题难度：来源：
设函数f（x）=tx2+2t2x+t﹣1（x∈R，t＞0）．
（I）求f （x）的最小值h（t）；
（II）若h（t）＜﹣2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围． |
答案
解：（I）∵f（x）=t（x+t）2﹣t3+t﹣1（x∈R，t＞0），
∴当x=-t时，f（x）取最小值f（﹣t）=-t2+t﹣1，即h（t）=-t3+t﹣1；
（II）令g（t）=h（t）﹣（﹣2t+m）=﹣t3+3t﹣1﹣m，
由g′（t）=﹣3t2+3=0得t=1，t=﹣1（不合题意，舍去）
当t变化时g′（t）、g（t）的变化情况如下表：
举一反三
已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4；
（3）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的范围． | 设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f"（x）的图象经过点 ，如图所示，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，求实数m的取值范围． |  | 温州某私营公司生产一种产品，根据历年的情况可知，生产该产品每天的固定成本为14000元，每生产一件该产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量f（x）与产量x之间的关系式为 ，
每件产品的售价g（x）与产量x之间的关系式为 ．
（Ⅰ）写出该公司的日销售利润Q（x）与产量x之间的关系式；
（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润． | | 若函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值，最小值分别为M，m，则M+m=（ ）。 | 已知函数f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x+a3．
（1）设a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若 ，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，试确定a的取值范围． |
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