已知函数f（x）=xlnx。 （Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）的最小值；（III）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围。

题型：北京期中题难度：来源：

已知函数f（x）=xlnx。
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）的最小值；
（III）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，），f（x）的导数，
令，解得；令，解得，
从而f（x）在单调递减，在单调递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，f（x）取得最小值；
（Ⅲ）令，则，
① 若a≤1，当x≥1时，，
故g（x）在上为增函数，
所以，x≥1时，，即；
② 若a>1，方程的根为，
此时，若，则，故g（x）在该区间为减函数，
所以，时，，即，与题设相矛盾，
综上，满足条件的a的取值范围是。