已知函数f（x）=plnx+（p-1）x2+1。（1） 当p=1时，f（x）≤λx恒成立，求实数λ的取值范围。（2） 当p>0时，讨论函数f（x）的单调性

题型：山东省期中题难度：来源：

已知函数f（x）=plnx+（p-1）x²+1。
（1） 当p=1时，f（x）≤λx恒成立，求实数λ的取值范围。
（2） 当p>0时，讨论函数f（x）的单调性。

答案

解：（1）当p=1时，f（x）≤kx恒成立，f（x）的定义域为（0，+∞）令，则，
因为，由，得x=1，
且当时，；当时，，
所以h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以，
故k≥1；
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），…
当p>1时，＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；
当0＜p＜1时，令=0，解得，
则当时，f′（x）＞0；时，＜0，
故f（x）在单调递增，在单调递减。