已知函数f（x）=-x3+ax2-4（a∈R），f（x）是f′（x）的导函数。 （1）当a=2时，对于任意的m∈[-1，1]，求f（m）的范围； （2）若存在x

题型：0113 期末题难度：来源：

已知函数f（x）=-x³+ax²-4（a∈R），f（x）是f′（x）的导函数。
（1）当a=2时，对于任意的m∈[-1，1]，求f（m）的范围；
（2）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，求a的取值范围。

答案

解：（1）由题意知
令得或
当x在[-1，1]上变化时，随x的变化情况如下表：

∴对于m∈[-1，1]，f（m）的范围为。
（2）∵
①若，当x＞0时，
在上单调递减
又
则当x＞0时，
∴当时，不存在，使
②若，则当时，
当时，
从而f（x）在上单调递增
在上单调递减
当x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f（）=
根据题意，＞0，即，解得a＞3
综上，a的取值范围是。