已知函数f（x）=xlnx。（1）求f（x）的最小值；（2）讨论关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数。

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已知函数f（x）=xlnx。
（1）求f（x）的最小值；
（2）讨论关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数。

答案

解：f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，得x=
当x∈（0，+∞）时，f′（x），f（x）的变化情况如下

所以，f（x）在（0，+∞）上最小值是f（）=-。
（2）当x∈（0，）时，f（x）单调递减且f（x）的取值范围是（-，0）
当x∈（，+∞）时，f（x）单调递增且f（x）的取值范围是
下面讨论f（x）-m=0的解：
当m＜-时，原方程无解
当m=-或m≥0时，原方程有唯一解
当-＜m＜0时，原方程有两个解。