已知函数f(x)=xlnx。(1)求f(x)的最小值;(2)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数。

已知函数f(x)=xlnx。(1)求f(x)的最小值;(2)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数。

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已知函数f(x)=xlnx。
(1)求f(x)的最小值;
(2)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数。
答案
解:f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=lnx+1,
令f′(x)=0,得x=
当x∈(0,+∞)时,f′(x),f(x)的变化情况如下

所以,f(x)在(0,+∞)上最小值是f()=-
(2)当x∈(0,)时,f(x)单调递减且f(x)的取值范围是(-,0)
当x∈(,+∞)时,f(x)单调递增且f(x)的取值范围是
下面讨论f(x)-m=0的解:
当m<-时,原方程无解
当m=-或m≥0时,原方程有唯一解
当-<m<0时,原方程有两个解。
举一反三
已知a∈R,函数f(x)=x2(x-a)。
(Ⅰ)当a=3时,求f(x)的零点;
(Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值。
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函数f(x)=axn·(1-x)2在区间[0,1]上的图像如图所示,则n可能是
[     ]
A.1
B.2
C.3
D.4
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函数f(x)=12x-x3在区间[-3,3]上的最小值是(    )。
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设直线x=t 与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为[     ]
A.1
B.
C.
D.
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某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式,其中3<x<6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克。
(1)求a的值。
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
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