设函数f （x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在[0，πn]上的面积为2n（n∈N

题型：湖南难度：来源：

设函数f （x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在[0，

π

n

]上的面积为

2

n

（n∈N^*），
（i）y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面积为______；
（ii）y=sin（3x-π）+1在[

π

3

，

4π

3

]上的面积为______．

答案

（i）∵函数y=sinnx在[0，

π

n

]上的面积为

2

n

（（n∈N₊），∴对于函数y=sin3x而言，n=3，
∴函数y=sin3x在[0，

π

3

]上的面积为：

2

3

，则函数y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面积为

2

3

×2=

4

3

（ii）设t=x-

π

3

，t∈[0，π]，则y=sin3t+1，∴y=sin（3x-π）+1在[

π

3

，

4π

3

]上的面积为π+

2

3

故答案为：

4

3

，π+

2

3