①求由曲线y=x,直线y=2-x,y=-13x围成的图形的面积.②求由y=sinx,直线x=π2,x=π,x轴围成的区域绕x轴旋转一周所得几何体的体积?
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①求由曲线y=x,直线y=2-x,y=-13x围成的图形的面积.②求由y=sinx,直线x=π2,x=π,x轴围成的区域绕x轴旋转一周所得几何体的体积?
题型:不详
难度:
来源:
①求由曲线y=
x
,直线y=2-x,y=-
1
3
x围成的图形的面积.
②求由y=sinx,直线x=
π
2
,x=π,x轴围成的区域绕x轴旋转一周所得几何体的体积?
答案
①区域对应的图形如图:
由
y=
x
y=2-x
.解得x=1或x=4(舍去),即A点的横坐标为1,
由
y=2-x
y=-
1
3
x
,解得x=3,BA点的横坐标为3,
∴所求区域的面积为
∫
10
[
x
-(-
1
3
x)]dx
+
∫
31
[2-x-(-
1
3
x)]dx
=(
2
3
x
3
2
+
1
6
x
2
)|
10
+(2x
-
1
3
x
2
)|
31
=
2
3
+
1
6
+(2×3-
1
3
×
3
2
-2+
1
3
)
=2
+
1
6
=
13
6
.
②根据旋转体的体积公式可知所求体积为V=
∫
π
π
2
(si
n
2
x)dx
=
∫
π
π
2
(
1-cos2x
2
)dx
=
∫
π
π
2
1
2
dx+
1
2
∫
π
π
2
cos2xdx
=
1
2
x
|
π
π
2
+
1
2
×
1
2
sin2x
|
π
π
2
=
1
2
×(π-
π
2
)
+
1
4
(sin2π-sinπ)
=
1
2
×
π
2
=
π
4
.
举一反三
曲线y=x
2
,x=0,y=1,所围成的图形的面积可用定积分表示为______.
题型:不详
难度:
|
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两曲线y=-x
2
+2x,y=2x
2
-4x所围成图形的面积S等于( )
A.-4
B.0
C.2
D.4
题型:不详
难度:
|
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求曲线
y=
x
(0≤x≤4)上的一条切线,使此切线与直线x=0,x=4以及曲线
y=
x
所围成的平面图形的面积最小.
题型:不详
难度:
|
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变速运动的物体的速度为v(t)=1-t
2
m/s(其中t为时间,单位:s),则它在前2s内所走过的路程为( )
A.
-
2
3
B.
2
3
C.-2
D.2
题型:不详
难度:
|
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不等式|x-1|≤1表示的平面区域与抛物线y
2
=4x组成的封闭区域的面积是______.
题型:不详
难度:
|
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