△ABC中(1)已知2B=A+C,b=1,求a+c的范围(2)已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,且sinB+sinC=1,判断△AB
题型:不详难度:来源:
△ABC中 (1)已知2B=A+C,b=1,求a+c的范围 (2)已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,且sinB+sinC=1,判断△ABC的形状. |
答案
(1)∵△ABC中,2B=A+C, ∴A+B+C=π,即B=, ∵b=1,∴由正弦定理得:2R===, ∵A+C=,即C=-A, ∴a+c=2RsinA+2RsinC=2R(sinA+sinC)=[sinA+sin(-A)]=2sincos(A-)=4cos(A-), ∵0<A<,∴-<A-<, ∴<cos(A-)<1,即2<4cos(A-)<4, 则a+c的范围是(2,4); (2)已知等式利用正弦定理化简得:2a2=b(2b+c)+c(2c+b),即b2+c2-a2=-bc, ∴cosA===-, ∵A为三角形内角,∴A=120°,即B+C=60°, ∴sinB+sinC=sinB+sin(60°-B)=2sin30°cos(B-30°)=cos(B-30°)=1, ∴B-30°=0,即B=30°, 则△ABC为等腰三角形. |
举一反三
已知A、B、C是三角形的三个内角 (Ⅰ)若满足3sinB-sin(2A+B)=0,tan2+4tan-1=0,求角C的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当c=时求a2+b2的最小值. |
若△ABC的内角A、B、C满足sinA:sinB:sinC=2:3:4,则cosB=( ) |
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=,b=2,且1+2cos(B+C)=0,则△ABC的BC边上的高等于( ) |
在△ABC中,若a=1,c=,∠C=40°,则符合题意的b的值有______个. |
已知△ABC中,M是BC的中点,AM=,设内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且=. (1)求角A的大小; (2)若角B=,求△ABC的面积; (3)求△ABC面积的最大值. |
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