已知△ABC三内角A、B、C所对边分别为a,b,c面积为S且满足2S=c2-(a-b)2和a+b=2.(1)求sinC的值;(2)求三角形面积S的最大值.
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已知△ABC三内角A、B、C所对边分别为a,b,c面积为S且满足2S=c2-(a-b)2和a+b=2. (1)求sinC的值; (2)求三角形面积S的最大值. |
答案
(1)根据题意,得 ∵S=absinC,且2S=c2-(a-b)2 ∴c2-(a-b)2=absinC,化简得a2+b2-c2=ab(2-sinC) ∵根据余弦定理,得a2+b2-c2=2abcosC, ∴2-sinC=2cosC,与sin2C+cos2C=1消去cosC, 得sin2C-sinC=0, ∵C是三角形内角,得sinC是正数 ∴sinC-1=0,解之得sinC=; (2)∵边a、b满足a+b=2 ∴ab≤()2=1,得ab的最大值为1(当且仅当a=b=1时取等号) 因此,△ABC面积S=absinC≤sinC= ∴当且仅当a=b=1时,△ABC面积S的最大值为 |
举一反三
在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,则•=( ) |
△ABC中,若sinB既是sinA,sinC的等差中项,又是sinA,sinC的等比中项,则∠B的大小是( ) |
已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地的距离为( )A.10 km | B.10km | C.10km | D.10km |
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若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则a+b的最小值为( ) |
已知△ABC的周长为6,|| ,|| ,||成等比数列,求 (I)试求∠B的取值范围; (Ⅱ)求•的取值范围. |
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