已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量m=（2sinB，3），n=(2cos2B2-1，cos2B)，且m⊥n，（1）求f（x）=s

题型：不详难度：来源：

已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

⊥

n

，
（1）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调减区间；
（2）如果b=4，求△ABC面积的最大值．

答案

∵向量

m

=（2sinB，

3

），

.

n

=（2cos²

B

2

-1，cos2B），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=2sinBcosB+

3

cos2B=sin2B+

3

cos2B=2sin（2B+

π

3

）=0，
∴2B+

π

3

=kπ，即B=

k

2

π-

π

6

，k∈Z，
∵0＜B＜

π

2

，∴B=

π

3

，
（1）f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB=sin（2x-B）=sin（2x-

π

3

），
由2x-

π

3

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，得函数f（x）的单调减区间为[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z；
（2）由余弦定理得：16=a²+c²-2accos

π

3

=a²+c²-ac≥ac，
∴S_△ABC=

1

2

acsin

π

3

≤4

3

，
则△ABC面积的最大值为4

3

．