在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若1a+b+1b+c=3a+b+c，试问A、B、C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

1

a+b

+

1

b+c

=

3

a+b+c

，试问A、B、C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．

答案

证明：A、B、C成等差数列，下面用综合法给出证明：
∵

1

a+b

+

1

b+c

=

3

a+b+c

，
∴

a+b+c

a+b

+

a+b+c

b+c

=3，
∴

c

a+b

+

a

b+c

=1，
∴c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），
∴b²=a²+c²-ac．
在△ABC中，由余弦定理，得
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

ac

2ac

=

1

2

，
∵0°＜B＜180°∴B=60°．
∴A+C=2B=120°，
∴A、B、C成等差数列．