如图所示，已知直线l：3x+4y﹣12=0与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，直线l1和线段AB，OA分别交于C，D且平分△AOB的面积．（1）求△AOB的面

题型：江苏期中题难度：来源：

如图所示，已知直线l：3x+4y﹣12=0与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，直线l₁和线段AB，OA分别交于C，D且平分△AOB的面积．
（1）求△AOB的面积；
（2）求CD的最小值．

答案

解：（1）令y=0，求出x=4，∴A（4，0），
令x=0，求出y=3，∴B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
则S_△AOB=OA●OB=×4×3=6；
（2）设AD=m，AC=n，
在Rt△AOB中，OA=4，0B=3，
根据勾股定理得：AB==5，
∴sinA==，又直线CD平分△AOB的面积，
∴S△ACD=mnsinA=×6=3，
∴mn=10，
在△AOB中，cosA==，
由余弦定理得：CD²=m²+n²﹣2mncosA=m²+n²﹣2×10×=m²+n²﹣16≥2mn﹣16=4，
∴CD≥2，当且仅当m=n=时取等号，
则CD的最小值为2．