已知△ABC的三边a、b、c成等比数列，且cotA+cotC=477，a+c=3．（1）求cosB；（2）求△ABC的面积．

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已知△ABC的三边a、b、c成等比数列，且cotA+cotC=477，a+c=3．（1）求cosB；（2）求△ABC的面积．

题型：不详难度：来源：
已知△ABC的三边a、b、c成等比数列，且cotA+cotC=
4


7
7
，a+c=3．
（1）求cosB；（2）求△ABC的面积．
答案
（1）由cotA+cotC=
4


7
7
⇒
sin(A+C)
sinAsinC
=
4


7
7
，
∵sinAsinC=sin2B，
sin（A+C）=sinB，
∴
sinB
sin2B
=
4


7
7
sinB=


7
4
，…（5分）
由a、b、c成等比数列，
知b2=ac，
且b不是最大边，
∴cosB=


1-sin2B
=


1-(


7
4
)2
=
3
4
，…（6分）
（2）由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB，
得ac=a2+c2-2ac•
3
4
=(a+c)2-
7
2
ac，
得ac=2，…（11分）
∴S△ABC=
1
2
acsinB=


7
4
．…（12分）
举一反三
在△ABC中，边AB为最大边，且sinA•sinB=
2-


3
4
，则cosA•cosB的最大值是______．
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在△ABC中，AB=


2，
∠B=30°，∠A=105°，则AC=______．
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在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且


3
•b=2asinB．
（1）求角A的大小；
（2）若a=


3
，b+c=3，求b和c的值．
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已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为 a、b、c，向量 


 m
=（cos
C
2
，sin
C
2
），


n
=（cos
C
2
，-sin
C
2
），且


m
与


n
的夹角为
π
3
．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）已知c=3，△ABC的面积S=
4


3
3
，求a+b的值．
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在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量 


p
=（sinA，b+c），


q
=（a-c，sinC-sinB），满足|


p
+


q
|=|


p
-


q
|．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设


m
=（sin（C+
π
3
），
1
2
），


n
=（2k，cos2A） （k＞1），


m
•


n
有最大值为3，求k的值．
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