在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,且满足a2+b2=ab+4,C=π3.(1)A≠π2时,若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△

在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,且满足a2+b2=ab+4,C=π3.(1)A≠π2时,若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△

题型:不详难度:来源:
在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,且满足a2+b2=ab+4,C=
π
3

(1)A≠
π
2
时,若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积;
(2)求△ABC的面积等于


3
的一个充要条件.
答案
(1)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,
即sinBcosA=2sinAcosA,
由cosA≠0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a
联立方程组





a2+b2=ab+4
b=2a
解得a=
2


3
3
b=
4


3
3

所以△ABC的面积S=
1
2
absinC=
2


3
3

(2)若△ABC的面积等于


3
,则
1
2
absinC=


3
,得ab=4.
联立方程组





a2+b2=ab+4
ab=4
解得a=2,b=2,即A=B,又C=
π
3

故此时△ABC为正三角形,故c=2,即当三角形面积为


3
时,△ABC是边长为2的正三角形
反之若△ABC是边长为2的正三角形,则其面积为


3

故△ABC的面积等于


3
的一个充要条件是:△ABC是边长为2的正三角形.
举一反三
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,A为锐角,已知向量


p
=(1,


3
cos
A
2
),


q
=(2sin
A
2
,1-cos2A),且


p


q

(1)若a2-c2=b2-mbc,求实数m的值.
(2)若a=


3
,求△ABC面积的最大值.
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在△ABC中,∠B=60°,且tanAtanC=2+


3
,求角A,C的度数.
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在△ABC中,若角B、C的对边分别为b、c,B=45°,c=2


2
,b=
4


3
3
,则C=______.
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在△ABC中,cosA=-
5
13
cosB=
3
5
,BC=5,△ABC的面积=______.
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在△ABC中,∠A=60°,b、c是方程x2-2


3
x+m=0
的两个实数根,△ABC的面积为


3
2
.   
(1)求m的值;   
(2)求BC的边长.
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