设正四面体的四个顶点是各棱长均为1米，有一个小虫从点开始按以下规则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条 棱的尽头，则它爬了

题型：不详难度：来源：

设正四面体的四个顶点是各棱长均为1米，有一个小虫从点开始按以下规则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条 棱的尽头，则它爬了米之后恰好再次位于顶点的概率是      （结果用分数表示）．

答案

解析

试题分析：小虫从A出发，一共分第5步走，可以确定下来是小虫最后一步必须回到A，那么第四步就不能是走回A，所以第三步成为关键，
分两种情况，①回到A点，②不回A点。
在①情况下，小虫第一步有3种选择，第三步为了回到A，则第二步只能有2种选择，到第四步时，因为从A出发，又有3种选择，所以此时共3×2×1×3×1=18种可能。
在②情况下，第二步的走法又分为③回A点或者④不回A点的情况。
因此在③情况下，共3×1×3×2×1=18种可能，
在④情况下，共3×2×2×2×1=24种可能。
所以，第五步回到A总共有18+18+24=60种可能。
而小虫总共有3×3×3×3×3=243种选择，
故它爬了米之后恰好再次位于顶点的概率是。
点评：中档题，利用分类分步计数原理，计算完成事件的方法数，是正确解题的关键。