若n∈N*,(1+2)n=2an+bn(an,bn∈N*).(1)求a4+b4的值;(2)证明:bn=(1+2)n+(1-2)n2;(3)若[x]表示不超过x的

若n∈N*,(1+2)n=2an+bn(an,bn∈N*).(1)求a4+b4的值;(2)证明:bn=(1+2)n+(1-2)n2;(3)若[x]表示不超过x的

题型:不详难度:来源:
若n∈N*(1+


2
)n=


2
an+bn
(an,bn∈N*).
(1)求a4+b4的值;
(2)证明:bn=
(1+


2
)
n
+(1-


2
)
n
2

(3)若[x]表示不超过x的最大整数.试证:当n为偶数时,[(1+


2
)
n
]=2bn-1
.当n为奇数时,上述结果是否依然成立?如果不成立,请用bn表示[(1+


2
)
n
]
(不必证明)
答案
(1)(1+


2
)4=
C04
+
C14


2
+
C24
(


2
)2+
C34
(


2
)3+
C44
(


2
)4
=12


2
+17

所以a4=12,b4=17,a4+b4=29.                               …(3分)
(2)当n为偶数时,(1+


2
)n=
C0n
+
C1n


2
+
C2n
(


2
)2+…+
Cnn
(


2
)n
bn=
C0n
+
C2n
(


2
)2+
C4n
(


2
)4+…+
Cnn
(


2
)n

(1-


2
)n=
C0n
+
C1n
•(-


2
)+
C2n
(-


2
)2+…+
Cnn
(-


2
)n
(1+


2
)n+(1-


2
)n=2[
C0n
+
C2n
(


2
)
2
+
C4n
(


2
)
4
+…+
Cnn
(


2
)
n
]

所以bn=
(1+


2
)
n
+(1-


2
)
n
2
成立.                                  …(6分)
当n为奇数时,(1+


2
)n=
C0n
+
C1n


2
+
C2n
(


2
)2+…+
Cnn
(


2
)n
bn=
C0n
+
C2n
(


2
)2+
C4n
(


2
)4+…+
Cn-1n-1
(


2
)n-1

(1-


2
)n=
C0n
+
C1n
•(-


2
)+
C2n
(-


2
)2+…+
Cnn
(-


2
)n
(1+


2
)n+(1-


2
)n=2[
C0n
+
C2n
(


2
)
2
+
C4n
(


2
)
4
+…+
Cn-1n-1
(


2
)
n-1
]

所以bn=
(1+


2
)
n
+(1-


2
)
n
2
成立.                                …(9分)
(3)由(2)可得2bn=(1+


2
)n+(1-


2
)n
是正整数,-1<1-


2
<0
,所以当n为偶数时,0<(1-


2
)n<1
,…(12分)
则有2bn-1<(1+


2
)n<2bn

所以2bn-1是不超过(1+


2
)n
的最大整数,[(1+


2
)
n
]=2bn-1
.     …(14分)
当n为奇数时,[(1+


2
)
n
]=2bn
.                                  …(16分)
举一反三
从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排,其中:
(1)甲、乙两盆有且仅有一盆展出的不同摆法种数为______;  
(2)甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为______.
题型:不详难度:| 查看答案
用1,2,3,4,5,6这六个数字组成的四位数中,试回答下面问题
(1)一共有多少个没重复数字的四位数?
(2)若把(1)中这些没重复数字按从小到大的顺序排成一列,则3241是第几个数?
(3)(2)中的第100个数字是多少?
题型:不详难度:| 查看答案
从6名短跑运动员中选出4人参加4×100接力赛,如果甲、乙两人都不跑第一棒,那么不同的参赛方案有______种.
题型:不详难度:| 查看答案
已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={a1,a2,a3},则满足a3≥a2+1≥a1+4的集合A的个数是______.(用数字作答)
题型:静安区一模难度:| 查看答案
(文) 已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={a1,a2,a3},则满足a3≥a2+1≥a1+2的集合A的个数是______.(用数字作答)
题型:静安区一模难度:| 查看答案
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