已知(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项．

题型：不详难度：来源：

已知(－)ⁿ的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
(1)证明：展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项．

答案

（1）见解析    （2）T₁＝x⁴，T₅＝x，T₉＝x^－2.

解析

依题意，前三项系数的绝对值是1， ()¹， ()²，且2·＝1＋ ()²，
即n²－9n＋8＝0，
∴n＝8(n＝1舍去)．
(1)若T_r＋1为常数项，当且仅当＝0，即3r＝16.

∵r∈Z，∴这不可能．
∴展开式中没有常数项．
(2)若T_r＋1为有理项，当且仅当为整数，
∵0≤r≤8，r∈Z，∴r＝0,4,8，
即展开式中的有理项共有三项，它们是T₁＝x⁴，T₅＝x，T₉＝x^－2.