已知an=(1+2)n(n∈N*).(1)若an=a+b2(a,b∈Z),求证:a是奇数;(2)求证:对于任意n∈N*,都存在正整数k,使得an=k-1+k.
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已知an=(1+2)n(n∈N*).(1)若an=a+b2(a,b∈Z),求证:a是奇数;(2)求证:对于任意n∈N*,都存在正整数k,使得an=k-1+k.
题型:江苏二模
难度:
来源:
已知
a
n
=(1+
2
)
n
(n∈
N
*
)
.
(1)若
a
n
=a+b
2
(a,b∈Z)
,求证:a是奇数;
(2)求证:对于任意n∈N
*
,都存在正整数k,使得
a
n
=
k-1
+
k
.
答案
(1)由二项式定理,得a
n
=
(1+
2
)
n
=
C
0n
+
C
1n
(
2
)
1
+
C
2n
(
2
)
2
+
C
3n
(
2
)
3
+…+
C
nn
(
2
)
n
,
又a
n
=a+b
2
(a,b∈Z),
∴a=
C
0n
+
C
2n
(
2
)
2
+
C
4n
(
2
)
4
+…,
∵2
C
2n
+2
2
C
4n
+…为偶数,
∴a是奇数.…(4分)
证明:(2)由(1)设a
n
=
(1+
2
)
n
=a+b
2
(a,b∈Z),
则
(1-
2
)
n
=a-b
2
(a,b∈Z),…(5分)
∴a
2
-2b
2
=(a+b
2
)(a-b
2
)=
(1+
2
)
n
•
(1-
2
)
n
=(1-2)
n
,…(6分)
当n为偶数时,a
2
=2b
2
+1,存在k=a
2
,使得a
n
=a+b
2
=
a
2
+
2b
2
=
k
+
k-1
,…(8分)
当n为奇数时,a
2
=2b
2
-1,存在k=2b
2
,使得a
n
=a+b
2
=
a
2
+
2b
2
=
k-1
+
k
,…(9分)
综上,对于任意n∈N
*
,都存在正整数k,使得a
n
=
k-1
+
k
. …(10分)
举一反三
已知
(1-
x
)
2012
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x+
a
3
x
3
2
+…+
a
2012
x
2012
2
,则a
1
+a
2
+a
3
+…+a
2012
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
二项式
(
x
3
-
1
x
)
8
的展开式中常数项为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
(
x
2
+2)(
1
x
-1
)
5
的展开式的常数项是______.
题型:宁波二模
难度:
|
查看答案
若(1+x)
n
的展开式中,x
3
的系数等于x的系数的7倍,求n.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在
(4
x
2
-2x-5)(1+
1
x
2
)
5
的展开式中,常数项为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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