若（x+1）5-x5=a0+a1（x+4）4x+a2（x+1）3x2+a3（x+1）2x3+a4（x+1）x4，且a1（i=0，1，…，4）是常数，则a1+a3

题型：温州二模难度：来源：

若（x+1）⁵-x⁵=a₀+a₁（x+4）⁴x+a₂（x+1）³x²+a₃（x+1）²x³+a₄（x+1）x⁴，且a₁（i=0，1，…，4）是常数，则a₁+a₃=______．

答案

据题意：（x+1）⁵-x⁵=a₀+a₁（x+4）⁴x+a₂（x+1）³x²+a₃（x+1）²x³+a₄（x+1）x⁴中，
左式=（x+1）⁵-x⁵=C₅⁰x⁵+C₅¹x⁴+…+C₅⁵x⁰-x⁵=C₅¹x⁴+C₅²x³+C₅³x²+C₅⁴x+1，
分析可得左式中常数项为1，右式中常数项为a₀，则a₀=1；
左式中x的1次项为5，右式中x的1次项为C₅¹，C₅¹=a₁即a₁=5
左式中x的2次项为C₅²，右式中x的2次项为C₄¹a₁+a₂，则C₅²=C₄¹a₁+a₂即4a₁+a₂=10
解可得，a₂=-10
左式中x的3次项为C₅³，右式中x的3次项为C₄²a₁+C₃¹a₂+a₃
则C₅³=C₄²a₁+C₃¹a₂+a₃即10=6a₁+3a₂+a₃
解可得a₃=10
所以a₁+a₃=15
故答案为15．