试题分析:(Ⅰ)根据两个平面垂直的条件,在平面内找到一条垂直于平面的直线即可,取的中点,可证明平面;(Ⅱ) 二面角与二面角相等,二面角的平面角为,求出即可.(解法2采用的是向量的方法,求出平面、的法向量,即可证明平面平面;求出平面、的法向量,即可求出二面角.) (Ⅰ)证明:取的中点,的中点,连,,,则
平面,平面,∴, 是平行四边形,. ,,又平面. 平面.平面. 从而平面平面. 6分 (Ⅱ)二面角与二面角相等, 由(Ⅰ)知二面角的平面角为. ,, 得,, 为正方形,, ∴二面角的大小为. 12分 解法2:取的中点,连. ,,又平面. 以为原点建立如图空间直角坐标系,
则由已知条件有: ,, 设平面的法向量为, 则由 及 可取 又平面,,平面, ∴平面的法向量可取为. , ∴,∴平面平面. 6分 (Ⅱ)设平面的法向量为, 则由 及 可取 ∵平面的法向量可取为, ∴锐二面角的余弦值为, ∴二面角的大小为. 12分. |