试题分析:(Ⅰ)借助直线AB1∥平面BC1Q,利用面面平行的性质定理可知AB1∥PQ,然后确定点Q的位置;(Ⅱ)利用空间向量的方法求解,分别求出面BC1C的法向量为m=(1,0,0)和 平面C1BQ的法向量n=(1,-,2),然后利用向量的夹角公式计算二面角Q-BC1-C的余弦值. 试题解析:(Ⅰ)连接B1C交BC1于点P,连接PQ. 因为直线AB1∥平面BC1Q,AB1Ì平面AB1C,平面BC1Q∩平面AB1C=PQ, 所以AB1∥PQ. 因为P为B1C的中点,且AB1∥PQ, 所以,Q为AC的中点. (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系.
设AB=BC=a,BB1=b,则 面BC1C的法向量为m=(1,0,0). B(0,0,0),C1(0,a,b),Q(a, a,0), =(0,a,b),=(-a, a,b). 因QC1与面BC1C所成角的正弦值为, 故==,解得b=a. 设平面C1BQ的法向量n=(x,y,z),则 即取n=(1,-,2). 所以有cosám,nñ==. 故二面角Q-BC1-C的余弦值为. |