已知函数,曲线在处的切线过点.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)当时,求的取值范围.

已知函数,曲线在处的切线过点.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)当时,求的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知函数,曲线处的切线过点.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)当时,求的取值范围.
答案
(Ⅰ)f(x)=lnx+; (Ⅱ)f(x)的取值范围是[1,ln5+].
解析

试题分析:(Ⅰ)利用导数的几何含义确定曲线的切线方程的斜率,然后借助切线过点建立等量关系;(Ⅱ)根据函数的定义域,借助求导分析函数的单调性,进而确定函数的最大值和最小值.
试题解析:(Ⅰ)f¢(x)=
则f¢(2)=,f(2)=ln2+
则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线为y= (x-2)+ln2+
即y=x+m-1+ln2.                                     3分
依题意,m-1+ln2=ln2,所以m=1.
故f(x)=lnx+.                                            5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=lnx+,f¢(x)=
当x∈[,1]时,f¢(x)≤0,f(x)单调递减,此时,f(x)∈[1,2-ln2];
当x∈[1,5]时,f¢(x)≥0,f(x)单调递增,此时,f(x)∈[1,ln5+]. 10分
因为(ln5+)-(2-ln2)=ln10->lne2
所以ln5+>2-ln2.
因此,f(x)的取值范围是[1,ln5+].                               12分
举一反三
在如图所示的几何体中,平面平面,四边形为平行四边形,.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
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如图,在四棱锥中,底面为菱形,的中点。

(1)若,求证:平面
(2)点在线段上,,试确定的值,使
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如图,在四棱锥中,侧棱底面,底面为矩形,上一点,

(I)若的中点,求证平面
(II)求三棱锥的体积.
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如图,四棱锥的底面为平行四边形,平面中点.

(1)求证:平面
(2)若,求证:平面.
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如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直,已知AB=2,AD=EF=1.

(Ⅰ)设FC的中点为M,求证:OM∥平面DAF;
(Ⅱ)设平面CBF将几何体EF-ABCD分割成的两个锥体的体积分别为VF-ABCD、VF-CBE,求VF-ABCD:VF-CBE的值.
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