(1)∵抛物线y=ax2+bx+2过点A(-3,0),B(1,0), ∴ 解得, ∴二次函数的关系解析式为y=-x2-x+2;
(2)存在. ∵如图1所示,设点P坐标为(m,n),则n=-m2-m+2. 连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N. 则PM=-m2-m+2,PN=-m,AO=3. ∵当x=0时,y=-×0-×0+2=2, ∴OC=2, ∴S△PAC=S△PAO+S△PCO-S△ACO =AO•PM+CO•PN-AO•CO =×3×(-m2-m+2)+×2×(-m)-×3×2 =-m2-3m ∵a=-1<0 ∴函数S△PAC=-m2-3m有最大值 ∴当m=-=-时,S△PAC有最大值. ∴n=-m2-m+2=-×(-)2-×(-)+2=, ∴存在点P(-,),使△PAC的面积最大.
(3)如图2所示,以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3,则点Q1,Q2,Q3,Q4为符合题意要求的点.过Q1点作Q1D⊥y轴于点D,过点Q2作Q2E⊥x轴于点E, ∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∠3+∠4=90°, ∴∠1=∠3,∠2=∠4, 在△Q1CD与△CBO中, ∵, ∴△Q1CD≌△CBO, ∴Q1D=OC=2,CD=OB=1, ∴OD=OC+CD=3, ∴Q1(2,3); 同理可得Q4(-2,1); 同理可证△CBO≌△BQ2E, ∴BE=OC=2,Q2E=OB=1, ∴OE=OB+BE=1+2=3, ∴Q2(3,1), 同理,Q3(-1,-1), ∴存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形.Q点坐标为:Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(-1,-1),Q4(-2,1). |