试题分析:(Ⅰ)先证明线面垂直平面,再证明面面垂直平面⊥平面;(Ⅱ)先建立直角坐标系,设平面的法向量为,利用两向量垂直,,列表达式,求出法向量,再由直线与平面所成的角为,得出法向量中的参量;先设存在点,找出的坐标,利用距离相等,列出表达式,看方程是否有根来判断是否存在点. 试题解析:解法一: (Ⅰ)证明:因为平面,平面, 所以,又,, 所以平面,又平面, 所以平面⊥平面. 3分 (Ⅱ)以为坐标原点,建立空间直角坐标系 (如图).
在平面内,作交于点,则. 在中,, . 设,则,. 由得, 所以,,, ,. 5分 (ⅰ)设平面的法向量为. 由,,得 取,得平面的一个法向量. 又,故由直线与平面所成的角为得 ,即. 解得或 (舍去,因为),所以. 7分 (ⅱ)假设在线段上存在一个点,使得点到点的距离都相等. 设 (其中). 则,, . 由,得, 即;① 由,得. ② 由①、②消去,化简得. ③ 由于方程③没有实数根,所以在线段上不存在一个点,使得点到点的距离都相等. 从而,在线段上不存在一个点, 使得点到点的距离都相等. 12分 解法二: (Ⅰ)同解法一: (Ⅱ)(ⅰ)以为坐标原点,建立空间直角坐标系 (如图).
在平面内,作交于点, 则, 在中, , . 设,则,. 由得. 所以,,, ,. 5分 设平面的法向量为. 由,,得 取,得平面的一个法向量. 又,故由直线与平面所成的角为得 ,即. 解得或 (舍去,因为),所以. 7分 (ⅱ)假设在线段上存在一个点,使得点到点的距离都相等.
由 ,得, 从而,即, 所以. 设,则,. 在中, ,这与矛盾. 所以在线段上不存在一个点,使得点到的距离都相等. 从而,在线段上不存在一个点,使得点到点的距离都相等 |