(Ⅰ) 在图1中,易得 连结,在中,由余弦定理可得
由翻折不变性可知, 所以,所以, 理可证, 又,所以平面.
(Ⅱ) 传统法:过作交的延长线于,连结, 因为平面,所以, 所以为二面角的平面角. 结合图1可知,为中点,故,从而 所以,所以二面角的平面角的余弦值为. 向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
则,, 所以, 设为平面的法向量,则 ,即,解得,令,得 由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量, 所以,即二面角的平面角的余弦值为. 解决折叠问题,需注意一下两点:1.一定要关注“变量”和“不变量”在证明和计算中的应用:折叠时位于棱同侧的位置关系和数量关系不变;位于棱两侧的位置关系与数量关系变;2.折前折后的图形结合起来使用.如本题第一问,关键是由翻折不变性可知,借助勾股定理进行证明垂直关系;(2)利用三垂线定理法或者空间向量法求解二面角. 求二面角:关键是作出或找出其平面角,常用做法是利用三垂线定理定角法,先找到一个半平面的垂线,然后过垂足作二面角棱的垂线,再连接第三边,即可得到平面角。若考虑用向量来求:要求出二个面的法向量,然后转化为,要注意两个法向量的夹角与二面角可能相等也可能互补,要从图上判断一下二面角是锐二面角还是钝二面角,然后根据余弦值确定相等或互补即可。 【考点定位】考查折叠问题和二面角的求解,考查空间想象能力和计算能力. |