正四棱锥中,,点M,N分别在PA,BD上,且.(Ⅰ)求异面直线MN与AD所成角;(Ⅱ)求证:∥平面PBC;(Ⅲ)求MN与平面PAB所成角的正弦值.

正四棱锥中,,点M,N分别在PA,BD上,且.(Ⅰ)求异面直线MN与AD所成角;(Ⅱ)求证:∥平面PBC;(Ⅲ)求MN与平面PAB所成角的正弦值.

题型:不详难度:来源:
正四棱锥中,,点M,N分别在PA,BD上,且

(Ⅰ)求异面直线MN与AD所成角;
(Ⅱ)求证:∥平面PBC;
(Ⅲ)求MN与平面PAB所成角的正弦值.
答案
(1)90o
(2)要证明线面平行,则主要证明线线平行即可,结合判定定理得到。
(3)
解析

试题分析:(Ⅰ)设AC与BD的交点为O,AB=PA=2。以点O为坐标原点,方向分别是x轴、y轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.
则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),
设P(0,0,p), 则=(-1,1,p),又AP=2,∴1+1+p2=4,∴p=,
=,
,
,,
,∴异面直线MN与AD所成角为90o
(Ⅱ)∵,
设平面PBC的法向量为="(a,b,c)," ,
= , ∵,∴MN∥平面PBC。      
(Ⅲ)设平面PAB的法向量为="(x,y,z),"
,∴,        
= , cos<> =,
∴MN与平面PAB所成角的正弦值是            

点评:主要是考查了线面的位置关系的运用,属于中档题。
举一反三
已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点.


(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;
(3)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:

(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,空间四边形的对棱的角,且,平行于的截面分别交

(1)求证:四边形为平行四边形;
(2)的何处时截面的面积最大?最大面积是多少?
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知多面体中,⊥平面⊥平面 ,的中点.

(1)求证:⊥平面
(2)求二面角的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知长方形ABCD中,AB=2,A1,B1分别是AD,BC边上的点,且AA1=BB1="1," E,F分别为B1D与AB的中点. 把长方形ABCD沿直线折成直角二面角,且.

(1)求证:
(2)求三棱锥的体积.
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