已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;(3

已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;(3

题型:不详难度:来源:
已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点.


(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;
(3)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
答案
(1)(2)连结AC,∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD,且BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PC又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC∵不论点E在何位置,都有AE⊂平面PAC∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE(3)
解析

试题分析:(1)由三视图可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.                   1分
,即四棱锥P-ABCD的体积为.   3分
(2)不论点E在何位置,都有BD⊥AE.                   4分
证明如下:连结AC,∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC.          5分
∵PC⊥底面ABCD,且BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PC.          6分

又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC.          7分
∵不论点E在何位置,都有AE⊂平面PAC.
∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE.          8分
(3)解法1:在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F,连结BF.
∵AD=AB=1,DE=BE=,AE=AE=
∴Rt△ADE≌Rt△ABE,
从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE.
∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角.                 10分
在Rt△ADE中,DF=, ∴BF=.          11分
又BD=,在△DFB中,由余弦定理得
cos∠DFB=,                12分
∴∠DFB=,           
即二面角D-AE-B的大小为.                     13分
解法2:如图,以点C为原点,CD,CB,CP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),               9分

从而=(0,1,0),=(-1,0,1),=(1,0,0),=(0,-1,1).
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

,取
,取 11分
设二面角D-AE-B的平面角为θ,
,    12分
∴θ=,即二面角D-AE-B的大小为     .    13分
点评:本题先由三视图得到几何体的特征,把握住CD,CB,CP两两垂直,因此可借助于空间向量法判定线面的垂直关系与求解二面角
举一反三
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:

(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
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如图,空间四边形的对棱的角,且,平行于的截面分别交

(1)求证:四边形为平行四边形;
(2)的何处时截面的面积最大?最大面积是多少?
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如图,已知多面体中,⊥平面⊥平面 ,的中点.

(1)求证:⊥平面
(2)求二面角的大小.
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如图,已知长方形ABCD中,AB=2,A1,B1分别是AD,BC边上的点,且AA1=BB1="1," E,F分别为B1D与AB的中点. 把长方形ABCD沿直线折成直角二面角,且.

(1)求证:
(2)求三棱锥的体积.
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在直角梯形ABCD中,AD//BC,,,如图(1).把沿翻折,使得平面,如图(2).

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求三棱锥的体积;
(Ⅲ)在线段上是否存在点N,使得?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
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