如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的大小．

题型：不详难度：来源：

如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

答案

（Ⅰ）见解析   （Ⅱ）见解析    （Ⅲ）

解析

本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，以及二面角的求解的运用。中利用，又平面，平面，∴平面由，，又，∴平面． 可得证明
（3）因为∴为面的法向量．∵，，
∴为平面的法向量．∴利用法向量的夹角公式，，
∴与的夹角为，即二面角的大小为．
方法一：解:（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，

∴，又点，，∴
∴，且与不共线，∴．
又平面，平面，∴平面．…………………4分
（Ⅱ）∵，
∴，，即，，
又，∴平面．  ………8分
（Ⅲ）∵，，∴平面，
∴为面的法向量．∵，，
∴为平面的法向量．∴，
∴与的夹角为，即二面角的大小为