(本小题14分)如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,为的中点.(1)求直线与所成角的余弦值;(2)在侧面内找一点,使平面,并分别求出点到和的距离.

(本小题14分)如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,为的中点.(1)求直线与所成角的余弦值;(2)在侧面内找一点,使平面,并分别求出点到和的距离.

题型:不详难度:来源:
(本小题14分)如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,的中点.
(1)求直线所成角的余弦值;
(2)在侧面内找一点,使平面,并分别求出点的距离.

答案
解 方法一 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0,0,0),B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、
E(0,,1),从而=(,1,0),=(,0,-2).
的夹角为,则cos===
∴AC与PB所成角的余弦值为……………………………………7分
(2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则=(-x,,1-z),由NE⊥平面PAC可得
,即,化简得,∴ 
即N点的坐标为(,0,1),
从而N点到AB、AP的距离分别为1,…………………14分
方法二 (1)设AC∩BD=O,
连接OE,AE,BD,则OE∥PB,

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.
在△AOE中,AO=1,OE=PB=,AE=PD=
∴由余弦定理得cos∠EOA=,
即AC与PB所成角的余弦值为.
(2)在平面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则∠ADF=.连接PF,则在Rt△ADF中,DF==,AF=AD·tan∠ADF=.
设N为PF的中点,连接NE,则NE∥DF.
∵DF⊥AC,DF⊥PA,
∴DF⊥平面PAC,从而NE⊥平面PAC.
∴N点到AB的距离为AP=1,N点到AP的距离为AF=.
解析

举一反三
(本小题满分14分)如图,在直三棱柱中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点

(1)求证:DE∥平面ABC;
(2)求三棱锥E-BCD的体积。
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(本小题满分12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AAl=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(I)证明:D1E上AlD;
(Ⅱ)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;
(Ⅲ)在(II)的条件下,求D1E与平面AD1C所成角的正弦值.

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如图5,已知平面∩平面=ABPQQPCCCDD
(Ⅰ)求证:PCDQ四点共面;
(Ⅱ)求证:QDAB

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关于直线与平面,有以下四个命题:①若,则
②若,则; ③若,则
④若,则.其中真命题有(     )                                                         
A.4个B.3个C.2个D.1个

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长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的面积为(  )
A.B.C.D.

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