解 方法一 (1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0,0,0),B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、 E(0,,1),从而=(,1,0),=(,0,-2). 设与的夹角为,则cos===, ∴AC与PB所成角的余弦值为……………………………………7分 (2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则=(-x,,1-z),由NE⊥平面PAC可得 ,即,化简得,∴ 即N点的坐标为(,0,1), 从而N点到AB、AP的距离分别为1,…………………14分 方法二 (1)设AC∩BD=O, 连接OE,AE,BD,则OE∥PB,
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角. 在△AOE中,AO=1,OE=PB=,AE=PD=, ∴由余弦定理得cos∠EOA=, 即AC与PB所成角的余弦值为. (2)在平面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则∠ADF=.连接PF,则在Rt△ADF中,DF==,AF=AD·tan∠ADF=. 设N为PF的中点,连接NE,则NE∥DF. ∵DF⊥AC,DF⊥PA, ∴DF⊥平面PAC,从而NE⊥平面PAC. ∴N点到AB的距离为AP=1,N点到AP的距离为AF=. |