解:解法一:(Ⅰ)在菱形ABCD中,连接DB,则△BCD是等边三角形. ∵点E是BC边的中点 ∴DE⊥BC. ∵PO⊥平面ABCD, ∴OD是斜线PD在底面ABCD内的射影. ∴PD⊥BC. (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE⊥BC, 菱形ABCD中,AD∥BC, ∴DE⊥AD. 又∵PO⊥平面ABCD,DE是PD在平面ABCD的射影, ∴PD⊥AD. ∴∠PDO为二面角P-AD-C的平面角. 在菱形ABCD中,AD⊥DE,由(1)知,△BCD为等边三角形, ∵点E是BC边的中点,AC与BD互相平分, ∴点O是△BCD重心. ∵AB=6, 又∵在等边△BDC中, DO=DE=·BC=×6=6. ∴OC=OD=6. ∵PC=6,∴PO=6. ∴在Rt△POD中,tan∠PDO===1. ∴∠PDO=. ∴二面角P-AD-C的大小为. (9分) (Ⅲ)取AD中点H,连接HB,HP. 则HB∥DE. ∴HB与PB所成角即是DE与PB所成角. 连接OH,OB. ∵PO⊥平面ABCD,OH,OB⊂平面ABCD, ∴PO⊥OH,PO⊥OB. 在Rt△DOH中,HD=3,OD=6, ∴OH=3. 在Rt△PHO中,PH==. 在Rt△POB中,OB=OC=6,PB==6. 由(Ⅱ)可知DE=HB=9. 设HB与PB所成角为α, 则cosα==. ∴异面直线PB、DE所成角的余弦值为. (13分) 解法二:(Ⅰ)同解法一; (4分) (Ⅱ)过点O作AD平行线交AB于F,以点O为坐标原点,建立如图的坐标系. ∴A(6,-6,0),B(3,3,0),C(-3,3,0), D(0,-6,0),P(0,0,6). ∴=(-6,0,0),=(0,-6,-6).
设平面PAD的一个法向量为s=(a,m,n). 则 即 ∴ 不妨取s=(0,-1,1). ∵=(0,0,6)是平面ADC的一个法向量, ∴cos〈s,〉==. ∴二面角P-AD-C的大小为. (9分) (Ⅲ)由已知,可得点E(0,3,0). ∴=(3,3,-6),=(0,9,0). ∴cos〈,〉==. 即异面直线PB、DE所成角的余弦值为. |