(本小题满分12分) 已知三棱柱的侧棱垂直于底面,,,,,分别是,的中点.(1)证明:;(2)证明:平面;(3)求二面角的余弦值.

(本小题满分12分) 已知三棱柱的侧棱垂直于底面,,,,,分别是,的中点.(1)证明:;(2)证明:平面;(3)求二面角的余弦值.

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)
已知三棱柱的侧棱垂直于底面,分别是的中点.
(1)证明:
(2)证明:平面
(3)求二面角的余弦值.
答案

解析
   解法一:


(Ⅰ)证明:因为平面
所以在平面内的射影,… 2 分
由条件可知
所以. ………………… 4 分
(Ⅱ)证明:设 的中点为
连接
因为分别是的中点,
所以
=
所以
所以四边形是平行四边形.
所以.    …………………6 分
因为平面平面
所以平面. …………… 8 分
(Ⅲ)如图,设的中点为,连接
所以
因为底面
所以底面
在平面内,过点,垂足为
连接,则
所以是二面角的平面角.         ………………… 10 分
因为==2,
,得=
所以==
所以==
二面角的余弦值是.              ………………… 12 分
解法二:
依条件可知两两垂直.
如图,以点为原点建立空间直角坐标系
根据条件容易求出如下各点坐标:



(Ⅰ)证明:因为

所以.             ………………… 2
所以
.                                 ………………… 4 分
(Ⅱ)证明:因为是平面的一个法向量,
,所以.          ………6 分
平面
所以平面.                         ………………… 8 分
(Ⅲ)设是平面的法向量,
因为
解得平面的一个法向量
由已知,平面的一个法向量为.    ………………… 10 分
设二面角的大小为, 则==
二面角的余弦值是.                  ………………… 12 分
举一反三
在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°, AA1="2," AC=BC=1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是           
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(本小题满分10分)
在四棱锥P-ABCD中,底ABCD是矩形, PA⊥面ABCD, AP="AB=2," BC=, E、F、G分别为AD、PC、PD的中点.
(1)求证: FG∥面ABCD
(2)求面BEF与面BAP夹角的大小.
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如图,在三棱柱中,侧面均为正方形,∠,点是棱的中点.

(Ⅰ)求证:⊥平面
(Ⅱ)求证:平面
(Ⅲ)求二面角的余弦值
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(本小题满分14分)
如图,直四棱柱的底面是菱形,,点分别是上、下底面菱形的对角线的交点.⑴求证:∥平面;⑵求点到平面的距离.
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(本小题满分14分)在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,
∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
(1)求证:PC⊥
(2)求证:CE∥平面PAB;
(3)求三棱锥P-ACE的体积V.
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