解:
法一: 如图所示,以点A为坐标原点,建立空间直角坐标系, 设, 依题意得,,, (1)易得,, 于是 所以异面直线与所成角的余弦值为 (2)已知, , 于是·=0,·=0. 因此,,,又 所以平面 (3)设平面的法向量,则,即 不妨令X=1,可得。 由(2)可知,为平面的一个法向量。 于是,从而, 所以二面角的正弦值为 法二: (1)设AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE= 连接B1C,BC1,设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C, 由,可知EF∥BC1. 故是异面直线EF与A1D所成的角, 易知BM=CM=, 所以 , 所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为 (2)连接AC,设AC与DE交点N 因为, 所以,从而, 又由于,所以, 故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且,所以DE⊥平面ACF,从而AF⊥DE. 连接BF,同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C, 所以AF⊥A1D因为,所以AF⊥平面A1ED. (3)连接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF, 又NF平面ACF, A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N, 故为二面角A1-ED-F的平面角. 易知,所以, 又所以, 在 , 连接A1C1,A1F 在 。所以 所以二面角A1-DE-F正弦值为. |