解:(Ⅰ)证明:取AD中点E,连接ME,NE, 由已知M,N分别是PA,BC的中点, ∴ME∥PD,NE∥CD 又ME,NE 平面MNE,ME NE=E, 所以,平面MNE∥平面PCD,又MN 平面MNE 所以,MN∥平面PCD ……………4分 (Ⅱ)因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC, 在矩形ABCD中,AD⊥DC, 如图,以D为坐标原点,射线DA,DC,DP分别为
轴、 轴、 轴正半轴建立空间直角坐标系. 则D(0,0,0),A( ,0,0), B( ,1,0), (0,1,0), P(0,0, ) 所以 ( ,0, ), , ∵ · =0,所以MC⊥BD ……………8分 (Ⅲ)因为ME∥PD,所以ME⊥平面ABCD,ME⊥BD,又BD⊥MC, 所以BD⊥平面MCE, 所以CE⊥BD,又CE⊥PD,所以CE⊥平面PBD, 由已知 ,所以平面PBD的法向量![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021015743-51307.gif) M为等腰直角三角形PAD斜边中点,所以DM⊥PA, 又CD⊥平面PAD,AB∥CD,所以AB⊥平面PAD,AB⊥DM,所以DM⊥平面PAB, 所以平面PAB的法向量 (- ,0, ),设二面角A—PB—D的平面角为θ, 则 . 所以,二面角A—PB—D的余弦值为 . ……………12分 |