解法1:(Ⅰ)如图,连,由于PA⊥平面ABCD,则由PQ⊥QD,必有.
设,则, 在中,有. 在中,有. ……4分 在中,有. 即,即. ∴. 故的取值范围为.……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当,时,边BC上存在唯一点Q(Q为BC边的中点), 使PQ⊥QD. 过Q作QM∥CD交AD于M,则QM⊥AD. ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥QM.∴QM⊥平面PAD. 过M作MN⊥PD于N,连结NQ,则QN⊥PD. ∴∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角. ……10分 在等腰直角三角形中,可求得,又,进而. ∴. 故二面角A-PD-Q的余弦值为. ……12分 解法2:(Ⅰ)以为x.y.z轴建立如图的空间直角坐标系,则 B(0,2,0),C(a,2,0),D(a,0,0), P(0,0,4), ……2分 设Q(t,2,0)(),则 =(t,2,-4), =(t-a,2,0). ……4分 ∵PQ⊥QD,∴=0. 即. ∴. 故的取值范围为. ……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当,时,边BC上存在唯一点Q,使PQ⊥QD. 此时Q(2,2,0),D(4,0,0). 设是平面的法向量, 由,得. 取,则是平面的一个法向量. 而是平面的一个法向量, ……10分 由. ∴二面角A-PD-Q的余弦值为. ……12分 |