解:法一:(I)如图:在△ABC中,
由E、F分别是AC、BC中点, 得EF//AB, 又AB平面DEF,EF平面DEF. ∴AB∥平面DEF. (II)∵AD⊥CD,BD⊥CD ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角 ∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD 取CD的中点M,这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF ∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角,在Rt△EMN中,EM=1,MN= ∴tan∠MNE=,cos∠MNE= (Ⅲ)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE… 证明如下:在线段BC上取点P。使,过P作PQ⊥CD与点Q, ∴PQ⊥平面ACD ∵在等边△ADE中,∠DAQ=30° ∴AQ⊥DE∴AP⊥DE… 法二:(Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、DC为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,2)B(2,0,0)C(0,……4分 平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为 则 即 所以二面角E—DF—C的余弦值为 (Ⅲ)在平面坐标系xDy中,直线BC的方程为 设
所以在线段BC上存在点P,使AP⊥DE |