(1)证明:∵ABC—A1B1C1是直三棱柱, ∴CC1⊥平面ABC, ∴AC⊥CC1. ∵AC⊥BC, ∴AC⊥平面B1BCC1. ∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影. ∵BC=CC1, ∴四边形B1BCC1是正方形, ∴BC1⊥B1C. 根据三垂线定理得, AB1⊥BC1.………………5分 (2)解:设BC1∩B1C=O,作OP⊥AB1于点P, 连结BP.∵BO⊥AC,且BO⊥B1 C, ∴BO⊥平面AB1C. ∴OP是BP在平面AB1C上的射影. 根据三垂线定理得,AB1⊥BP. ∴∠OPB是二面角B—AB1—C的平面角.…………8分 ∵△OPB1~△ACB1, ∴ ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021021316-34359.gif) 在Rt△POB中, , ∴二面角B—AB1—C的大小为 …………10分 (3)解:[解法1] ∵A1C1//AC,A1C1 平面AB1C, ∴A1C1//平面AB1C. ∴点A1到平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C.的距离相等. ∵BC1⊥平面AB1C, ∴线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的距离. ∴点A1到平面AB1C的距离为 …………14分 [解法2]连结A1C,有 ,设点A1到平面AB1C的距离为h. ∵B1C1⊥平面ACC1A1, ∴ , 又 , ∴ ∴点A1到平面AB1C的距离为 …………14分 |